Cómo Deducir argumento double Propiedades de las funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas son de uso general en la física teórica.

 

DERIVE DOBLE

Trigonometría hiperbólica es el campo de las matemáticas que se respete la hiperbólica seno, coseno y tangente funciones. Los físicos utilizan las hiperbólicas funciones para realizar cálculos en la relatividad especial, el electromagnetismo y la gravedad.

 

Deducir la fórmula Argumento Doble Sinh (x)

 

Tome la definición del seno hiperbólico, y vuelva a colocar todas las x con (2x) para obtener: sinh (2x) =-i sin (2ix).

 

Reemplazar con un ix en el doble fórmula ángulo de la función seno para obtener: sen (2ix) = 2sin (ix) cos (ix). Sustituir el término de la derecha en la ecuación original para obtener: Sinh (2x) =-i * sin (ix) cos (ix) = 2 * (-i) * sin (ix) cos (ix).

 

Cambie los senos y cosenos de nuevo en senos y cosenos hiperbólicos. Desde cos (ix) = cosh (x) y isin (ix) = sinh (x), que llegará a la doble fórmula argumento: sinh (2x) = 2sinh (x) cosh (x).

Deducir la fórmula Argumento Doble Cosh (x)

 

Doble los argumentos en la definición del coseno hiperbólico: cosh (2x) = cos (2ix).

 

Utilice la identidad de ángulo doble para cosenos para cambiar a cos (2ix): cos (2a) = 1 2sin (a). Por lo tanto: cos (2ix) = 1 2sin (ix). Reemplace que en la ecuación original para obtener: cosh (2x) = 1-2sin (ix).

 

Cambie hacia fuera pecado (ix) para-sinh (x) / i, usando la definición del seno hiperbólico: cosh (2x) = 1-2 * (-sinh (x) / i).

 

Multiplicar las íes en los denominadores y simplifica para obtener la doble argumento fórmula: cosh (2x) = 1.2 * (-sinh (x) / i) = 1 + sinh (x)

Deducir la fórmula doble argumento para la tangente hiperbólica

 

Doble los argumentos en la definición de la tangente hiperbólica: tanh (2x) = sinh (2x) / cosh (2x).

 

Intercambia en el doble argumento fórmulas de seno hiperbólico y el coseno (que acaba de derivados): tanh (2x) = 2sinh (x) cosh (x) / (1 ​​+ sinh (x))

 

Utilice la identidad 1 = cosh (a)-sinh (a) y sustituir en el denominador. Simplificar para obtener: tanh (2x) = 2sinh (x) cosh (x) / (cosh (x) + sinh (x)).

 

Divide el numerador y el denominador de cada cosh (x). Simplificar la ecuación con la definición de la tangente hiperbólica y obtendrá la fórmula doble argumento: tanh (2x) = 2tanh (x) / (1 + tanh (x)).

 

Consejos y advertencias

Las funciones hiperbólicas básicas incluyen:

 

sinh (x) =-i * sin (ix)

 

cosh (x) = cos (ix)

 

tanh (x) = senh (x) / cosh (x)

 

Donde i es la raíz cuadrada de -1.

 

También se utiliza el doble ángulo propiedades de circular trig:

 

sen (2x) = 2sin (x) cos (x)

 

cos (2x) = 1-sin (x)

 

Al derivar algebraicas difíciles propiedades siempre se debe comprobar su trabajo con una calculadora. Enchufe algunos números arbitrarios en las fórmulas y asegurarse de obtener el resultado correcto.